Не "родственники" они теперь...

БАБОЧКА

Слово «бабочка» в современном значении – «летающее насекомое, мотылек» – известно в русском языке с начала XVIII в. В словарях встречается с 1780 г. Слово исконно русское. По основным предположениям, «бабочка» является производным от баба («замужняя женщина, жена») или же уменьшительным от бабка, бабушка. Известный русский лингвист Потебня считал, что значение слова «бабочка» возникло в связи с представлением о мотыльке как о «воплощении души предков женского пола».

Однако вопрос о происхождении слова до конца не решен. Есть версии, что существительное «бабочка» произошло от глагола бавить – «гнездо» или от бава – «игрушка, забава».

В других славянских языках слово «бабочка» отсутствует либо имеет другие значения, а насекомое называется по-другому: мотыль (белорусское), метелик (украинское) и др.

Источник здесь

БАБА

Это слово пришло во взрослый русский язык из детского, а образовалось путем удвоения изначального ба (точно так же образовалось и слово мама). Это слово значило раньше просто "бабушка", а вторичное его значение – "женщина" свойственно только грубо-просторечному языку

БАБКА

(старуха, бабушка) Это общеславянское слово образовано от существительного баба (в значении "мать отца или матери") с помощью уменьшительно-ласкательного суффикса, но со временем стало восприниматься как самостоятельное слово, обозначающее родство.

БАБУШКА

Здесь уменьшительно-ласкательный суффикс -ушк- изменил лишь звучание слова баба (в отличие от бабочки, см. >), а изначального его значения не затронул.

БАБОЧКА

В основе этого существительного лежит слово баба, а уменьшительный суффикс изменил не только звучание слова, но и его значение. В старину некоторые животные и насекомые (включая и бабочек) считались колдунами или ведьмами. А слово баба к тому времени приобрело еще и значение – "ведьма", "колдунья". Так что, оказывается, нашим древним предкам это насекомое с красивыми крылышками представлялось маленькой колдуньей.

Источник здесь

Изучение языка можно проводить двумя способами: синхронным (от греч. syn – «совместно» и chronos – «время») и историческим, или диахроническим (от греч. dia – «через» и chronos – «время»).

В первом случае изучается устройство языка, механизм его действия в тот или иной момент времени. Вопрос о том, почему именно так сложился язык, какие изменения в нем происходили, не ставится. Анализируется вопрос как?, а не почему? каков морфемный состав слова в современном языке и можно ли значение слово  через более простое?

При диахроническом подходе изучаются изменения, происходящие в языке на протяжении того или иного периода времени, исследуется, что, каким образом и почему менялось в языке. Этот анализ слова называется этимологическим.

Получается  исторически слова бабочка и бабушка, возможно, были "родственниками", в современном языке они на являются однокоренными, родственными. Слово бабочка нельзя объяснить через слово баба. И корень в нём бабочк-а.